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\title{高等代数二作业1}
\author{王立庆（2024级数学与应用数学1班）} 
\date{2025年3月3日 - 9日}
%\date{\today}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
1. 数域、%：理解有理数域、实数域、复数域的含义。举出无穷多个数域的例子。\\
2. 一元多项式、%：理解系数在给定数域中的一元多项式环中的运算。证明一元多项式环的带余除法定理。\\
3. 整除的概念、%：证明整除的基本性质。\\
4. 最大公因式。%：使用辗转相除法计算两个多项式的最大公因式。证明两个多项式互素的充分必要条件。编程计算两个多项式的最大公因式。
\end{abstract}


\section{讲解}
\begin{enumerate}\itemsep4cm
\item  叙述数域的概念。记 $\mathbb{Q}$ 是有理数域。证明数集 $P=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Q} \}$ 是一个数域。

\item  记 $\mathbb{R}[x]$ 是实系数一元多项式全体组成的集合。设 $f(x),g(x)\in\mathbb{R}[x]$. 证明 $f(x)+g(x)$ 与 $f(x)g(x)$ 也是 $\mathbb{R}[x]$ 中的元素。举例说明 $f(x)/g(x)$ 不一定是 $\mathbb{R}[x]$ 中的元素。

\item  设多项式 $f(x)=3x^3+4x^2-5x+6$, $g(x)=x^2-3x+1$. 求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 得到的商和余式。

\newpage
\item  叙述和证明带余除法定理。

\vspace{1cm}

\item  将多项式 $f(x)=x^5$ 写成 $c_0+c_1(x-1)+ \cdots +c_5(x-1)^5$ 的形式。

\vspace{-1cm}

\item  （定理1）设有实系数多项式 $f(x),g(x)$, 设 $g(x)\neq 0$. 证明 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 的充分必要条件是 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 的余式为零。 

\item  设有实系数多项式 $f(x),g(x)$, 设 $f(x)\mid g(x)$ 且 $g(x)\mid f(x)$. 证明存在非零实数 $c$ 使得 $f(x) = cg(x)$. 

\item  叙述实系数多项式环 $\mathbb{R}[x]$ 中的两个多项式的最大公因式的概念。

\item  （定理2）使用辗转相除法计算多项式 $f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3$ 与 $g(x)=3x^3+10x^2+2x-3$ 的最大公因式 $d(x)$. 并求多项式 $u(x)$ 与 $v(x)$ 使得 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. 

\item  （定理3）证明多项式 $f(x),g(x)$ 互素的充分必要条件是存在多项式 $u(x)$ 与 $v(x)$ 使得 $$u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. $$

\item  （定理4）设有多项式 $f(x),g(x),h(x)$. 设 $(f(x),g(x))=1$ 且 $f(x)\mid g(x)h(x)$. 证明 $$f(x)\mid h(x).$$ 

\item  设有多项式 $f_1(x),f_2(x),g(x)$. 设 $f_1(x)\mid g(x), f_2(x)\mid g(x)$, 且 $(f_1(x),f_2(x))=1$. 证明 $$f_1(x)f_2(x)\mid g(x). $$
\end{enumerate}

\newpage

\section{习题}
\begin{enumerate}\itemsep5cm 
\item  记 $\mathbb{Q}$ 是有理数域。证明数集 $P=\{a+b\sqrt{5}\mid a,b\in\mathbb{Q} \}$ 是一个数域。
\item  设 $f(x)=x^4-2x+5$, $g(x)=x^2-x+2$. 求 $f(x)$ 除以 $g(x)$ 得到的商和余式。
\item  求实数 $m,p,q$ 使得多项式 $x^2+mx-1$ 整除 $x^3+px+q$. 
\item  将多项式 $f(x)=x^4-2x^2+3$ 写成 $c_0+c_1(x+2)+c_2(x+2)^2+c_3(x+2)^3+c_4(x+2)^4$ 的形式。
\item  使用辗转相除法计算多项式 $f(x)=x^4+x^3-3x^2-4x-1$ 与 $g(x)=x^3+x^2-x-1$ 的最大公因式 $d(x)$. 并求多项式 $u(x)$ 与 $v(x)$ 使得 $d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$. 

\vspace{2cm}

\item  求实数 $t,u$ 使得多项式 $f(x)=x^3+(1+t)x^2+2x+2u$ 与 $g(x)=x^3+tx+u$ 的最大公因式是二次多项式。
\item  设有多项式 $f(x),g(x),h(x)$. 设 $(f(x),g(x))=1$ 且 $(f(x),h(x))=1$. 证明 $$(f(x),g(x)h(x))=1. $$
\end{enumerate}

\end{document}
